动态规划算法

1137.第 N个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1：

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输入：n = 4
输出：4
解释：
T_3 = 0 + 1 + 1 = 2
T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：

1
2
输入：n = 25
输出：1389537

提示：

  • 0 <= n <= 37
  • 答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

c语言版本

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int tribonacci(int n) 
{
    // T3 = T0 + T1 + T2; 
    // T4 = T1 + T2 + T3; 
    // T5 = T2 + T3 + T4; 

// 1.状态表示，dp表。状态表示：dp表里面值的含义
//   怎么来？ 1题目要求 2经验 + 题目要求 3分析问题发现重复子问题
// 2.状态转移方程 dp[i]等于什么？ 公式
// 3.初始化：保证填表不越界。(T1, T2, T3已经指定了的)
// 4.填表的顺序。从左往右。
// 5.返回值。题目要求 + 状态表示。

// 1.dp表
// 2.初始化
// 3.填表
// 4.返回值

// 处理边界情况的
    if (n < 0) return 0;   // 或根据需求定义
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1 || n == 2) return 1;

    // int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    // dp[0] = 0;
    // dp[1] = 1;
    // dp[2] = 1;

    // for(int i = 3; i <= n; ++i)
    // {
    //     dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
    // }

    // return dp[n];

// 滚动数组，优化空间。
    int a = 0;
    int b = 1;
    int c = 1;
    int d = 0;
    for(int i = 3; i <= n; ++i)
    {
        d = a + b + c;
        a = b;
        b = c;
        c = d;
    }

    return d;
}

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class Solution 
{
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
    // 1.初始化的条件
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;
    
    // 2.dp表和dp表的初始化
        vector<int> v;
        v.reserve(n + 1);
        v[0]  = 0;
        v[1]  = 1;
        v[2]  = 1;
    
    // 3.dp公式
        for(int i = 3; i <= n; ++i)
        {
            v[i] = v[i-1] + v[i-2] + v[i-3];
        }
        return v[n];
    }
};

面试题 08.01.三步问题

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有 n 阶台阶，小孩一次可以上 1 阶、2 阶或 3 阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模 1000000007。

示例 1：

1
2
3
输入：n = 3 
输出：4
说明：有四种走法

示例 2：

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2
输入：n = 5
输出：13

提示:

  1. n 范围在[1, 1000000]之间

c代码

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int waysToStep(int n) 
{
    const int mod = 1000000007;
// 0 1 2 3 4
// 0-1:0-1    1 
// 0-2:0-1,1-2; 0-2   
// 0-3:0-1,1-2,2-3;0-1,1-3;0-2,2-3;0-3.  4
// 0 1 2 3 4
//   1 2 3 
//   4 2 1


// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
// 1.初始化
// dp1,dp2,dp3
//  1  2   4
    if(n == 1 || n == 2)
    {
        return n;
    }
    if(n == 3)
    {
        return 4;
    }

// 1.创建dp表
// 2.初始化
    int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    p[1] = 1;
    p[2] = 2;
    p[3] = 4;

// 3.填表
    for(int i = 4; i <= n; ++i)
    {
        long long sum = (long long) p[i-1] + p[i-2] + p[i-3];
        p[i] = (int)(sum % mod);
    }

// 4.返回值
    int result = p[n];
    free(p);   // 千万别忘！
    return result;
}

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int waysToStep(int n)
 {
    const int mod = 1000000007;
    if (n == 0) return 0;   // 根据题意可选
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    if (n == 3) return 4;

    vector<int> dp(n + 1);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 4;

    for (int i = 4; i <= n; ++i) 
    {
        // 使用 long long 防止中间运算溢出
        long long sum = (long long)dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3];
        dp[i] = sum % mod;
    }
    return dp[n];
}

746.使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

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输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。(楼顶，数组之外的)

示例 2：

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输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

  • 2 <= cost.length <= 1000
  • 0 <= cost[i] <= 999

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class Solution 
{
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
    {
        // 1.状态表示
        //    经验+题目要求。i位置结尾 + 题目要求。
        //    到底i位置了。---》到底0....n位置最小的花费。
        // 2.状态转移方程
        //    用之前或者之后的状态，推导出dp[i]的值。
        //    根据最近的一步u，划分问题。
        //      dp[i]---d[i-1] 
        //      dp[i]---d[i-2]
        //      1 2 3
        //        i-1
        //      i-2
        // 3.初始化
        //   填表的时候不越界的。
        // 4.填表
        //   从左往右
        // 5.返回值
        // dp[n]

        // [10, 15, 20] 楼顶位置。
        //  0 1   2 3 4 5   6 7 8   9
        // [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1] 楼顶的位置
        //        1
        //   1 
        //      100

        // dp[0]花费0
        // dp[1]花费0
// 方法1
        // int n = cost.size();
        // vector<int> dp(n + 1); // 起始位置，0,1,的费用都是零，然后跳到2。
        // for(int i = 2; i <= n; ++i)
        // {
        //     dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
        // }
        // return dp[n];
// 方法2
    // 1.i位置为起点。
    // 

    }
};

91.解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

1
"1" -> 'A' "2" -> 'B' ... "25" -> 'Y' "26" -> 'Z'

然而，在 解码 已编码的消息时，你意识到有许多不同的方式来解码，因为有些编码被包含在其它编码当中（"2" 和 "5" 与 "25"）。

例如，"11106" 可以映射为：

  • "AAJF" ，将消息分组为 (1, 1, 10, 6)
  • "KJF" ，将消息分组为 (11, 10, 6)
  • 消息不能分组为 (1, 11, 06) ，因为 "06" 不是一个合法编码（只有 “6” 是合法的）。

注意，可能存在无法解码的字符串。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。如果没有合法的方式解码整个字符串，返回 0。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1：

1
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输入：s = "12"
输出：2
解释：它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。

示例 2：

1
2
3
输入：s = "226"
输出：3
解释：它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

示例 3：

1
2
3
输入：s = "06"
输出：0
解释："06" 无法映射到 "F" ，因为存在前导零（"6" 和 "06" 并不等价）。

提示：

  • 1 <= s.length <= 100
  • s 只包含数字，并且可能包含前导零。

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class Solution 
{
public:
    int numDecodings(string s) 
    {
        // 1-A
        // 26-Z
        // 1.经验+题目要求
        //   i位置结尾。 s[i]和s[i-1]解码。
        // s[i] 1-9     成功
        // s[i-1] 10-26 成功

        // dp[0]和dp[1]初始化
        // 从左往右
        // 返回值dp[i]的值
        
        int n = s.size();
        vector<int> dp(n);

        dp[0] = (s[0] != '0');
        if(n == 1) return dp[0];

        if(s[0] != '0' && s[1] != '0') dp[1] += 1;

        int t = (s[0] - '0') * 10 + s[1] - '0';
        if(t >= 10 && t <= 26) dp[1] += 1;

        for(int i = 2; i < n;  ++i)
        {
            if(s[i] != '0') dp[i] += dp[i-1];

            int t = (s[i-1] - '0') * 10 + s[i] - '0';
            if(t >= 10 && t <= 26) dp[i] += dp[i - 2];
        }
        
        return dp[n - 1];
    }
};

62.不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

image-20260830102814008

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2
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

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7
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

1
2
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

1
2
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

C++代码

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